
%!TEX program = xelatex
%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
%\author{王立庆（2022级数学与应用数学1班）}
\author{ALEX }
\title{高等代数复习题 - 线性方程组}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2022 年 9 月 8 日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{线性方程组}

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %1
考虑下述线性方程组，
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{rcl}
x_1 -x_2 +x_3 +x_4 &=& 1, \\
x_1 -x_2 +2x_3 -x_4 &=& 2, \\
x_1 -2x_2 +x_3 +2x_4&=& 3. \\
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item[(1)]  写出系数矩阵和增广矩阵。
\item[(2)]  对增广矩阵进行行初等变换，化为行最简形。
\item[(3)]  写出这个线性方程组的通解。
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%
%\begin{enumerate}
%
%\item[(1)]  系数矩阵和增广矩阵分别是
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{bmatrix}1&-1&1&1 \\ 1&-1&2&-1 \\ 1&-2&1&2  \end{bmatrix}, \,\,\,
%\bar{A}=\begin{bmatrix}1&-1&1&1&1 \\ 1&-1&2&-1&2 \\ 1&-2&1&2&3  \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(2)]  增广矩阵的行最简形为
%\begin{eqnarray*}
%\bar{A}=\begin{bmatrix}1&-1&1&1&1 \\ 1&-1&2&-1&2 \\ 1&-2&1&2&3  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix}1&0&0&2&-2 \\ 0&1&0&-1&-2 \\ 0&0&1&-2&1  \end{bmatrix}=\text{rref}(\bar{A}). 
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(3)]  由行最简形知，可取 $x_4$ 为自由未知量，将其移项，可得通解为
%\begin{eqnarray*}
%\left\{\begin{array}{rcl}
%x_1 &=& -2-2x_4, \\
%x_2 &=& -2+x_4, \\
%x_3 &=& 1+2x_4.
%\end{array}\right.
%\end{eqnarray*}
%写成向量形式，可得通解为
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4  \end{bmatrix}
%=
%\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \\ 0  \end{bmatrix}
%+
%k\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \\ 1  \end{bmatrix}, \,\,\, k \in \mathbb{R}. 
%\end{eqnarray*}
%
%\end{enumerate}
%
%\begin{lstlisting}[language=R]
%library(pracma)
%Abar=matrix(c(1,-1,1,1,1,1,-1,2,-1,2,1,-2,1,2,3),nrow=3,byrow=T)
%print(Abar)
%print(rref(Abar))
%\end{lstlisting}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %2
考虑下述线性方程组，
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
2x_1 -x_2 +3x_3 &=& 3, \\
3x_1 +x_2 -5x_3  &=& 0, \\
4x_1 -x_2 +x_3 &=& 3, \\
x_1 +3x_2 -13x_3 &=& -6. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item[(1)]  写出系数矩阵和增广矩阵。
\item[(2)]  对增广矩阵进行行初等变换，化为行最简形。
\item[(3)]  写出这个线性方程组的通解。
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%
%\begin{enumerate}
%
%\item[(1)]  系数矩阵和增广矩阵分别是
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{bmatrix} 2&-1&3 \\ 3&1&-5 \\ 4&-1&1 \\ 1&3&-13  \end{bmatrix}, \,\,\,
%\bar{A}=\begin{bmatrix} 2&-1&3&3 \\ 3&1&-5&0 \\ 4&-1&1&3 \\ 1&3&-13&-6  \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(2)]  增广矩阵的行最简形为
%\begin{eqnarray*}
%\bar{A}=\begin{bmatrix} 2&-1&3&3 \\ 3&1&-5&0 \\ 4&-1&1&3 \\ 1&3&-13&-6  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&0&0&1 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&1 \\  0&0&0&0  \end{bmatrix}=\text{rref}(\bar{A}). 
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(3)]  由行最简形知，该线性方程组有唯一解
%\begin{eqnarray*}
%\left\{\begin{array}{rcl}
%x_1 &=& 1, \\
%x_2 &=& 2, \\
%x_3 &=& 1.
%\end{array}\right.
%\end{eqnarray*}
%写成向量形式，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{bmatrix}
%=
%\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1  \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%
%\end{enumerate}
%
%\begin{lstlisting}[language=R]
%library(pracma)
%Abar=matrix(c(2,-1,3,3,3,1,-5,0,4,-1,1,3,1,3,-13,-6),nrow=4,byrow=T)
%print(Abar)
%print(rref(Abar))
%\end{lstlisting}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %3
设矩阵 $A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ 的行列式的值不等于零。
\begin{enumerate}
\item[(1)]  证明一定能通过一系列的行初等变换将这个矩阵化为单位阵 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 的形式。
\item[(2)]  找到一系列的第三类行初等变换，将这个矩阵化为 $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&x \end{bmatrix}$ 的形式。
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%\begin{enumerate}
%\item[(1)]  
%\begin{enumerate}
%\item  由 $\det(A)\neq 0$ 可得 $a\neq 0$ 或 $c\neq 0$. 
%\item  若 $a=0$, 则 $c\neq 0$, 此时通过交换两行，将 $(1,1)$ 位置化为非零数。
%\item  将第一行乘以 $(1,1)$ 位置的数字的倒数，将 $(1,1)$ 位置化为1. 
%\item  将第一行乘以一个数加到第二行，将 $(2,1)$ 位置化为零。
%\item  如果行列式的值不为零，则它在三类初等变换之后的值也不为零。
%\item  此时 $(2,2)$ 位置的数字不为零。
%\item  将第二行乘以 $(2,2)$ 位置的数字的倒数，将 $(2,2)$ 位置化为1. 
%\item  将第二行乘以一个数加到第一行，将 $(1,2)$ 位置化为零。
%\end{enumerate}
%
%\item[(2)]  
%\begin{enumerate}
%\item  若 $c=0$, 则 $a\neq 0$. 此时将第一行乘以 $\frac{1-a}{a}$ 加到第二行，再将第二行乘以 1 加到第一行，可将 $(1,1)$ 位置化为1. 
%\item  若 $c\neq 0$, 则将第二行乘以 $\frac{1-a}{c}$ 加到第一行，可将 $(1,1)$ 位置化为1. 
%\item  将第一行乘以一个数加到第二行，将 $(2,1)$ 位置化为零。
%\item  如果行列式的值不为零，则它在三类初等变换之后的值也不为零。
%\item  因为 $\det(A)\neq 0$, 所以此时 $(2,2)$ 位置的数字不为零，记为 $x$. 
%\item  将第二行乘以一个数加到第一行，将 $(1,2)$ 位置化为零。
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %4
设 $n$ 阶矩阵的行列式的值不等于零。证明一定能通过一系列行初等变换将这个矩阵化为单位阵。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%\begin{enumerate}
%\item  因为这个矩阵 $A_n$ 的行列式的值不为零，所以它的第一列元素不能全为零。
%\item  通过交换两行，将 $(1,1)$ 位置化为非零数。
%\item  将第一行乘以 $(1,1)$ 位置的数字的倒数，将 $(1,1)$ 位置化为1. 
%\item  将第一行乘以适当的数字加到其它行，将 $(2,1),\cdots, (n,1)$ 位置的数字都化为零。
%\item  通过行初等变换，得到如下形式的矩阵，其中 $A_{n-1}$ 是个 $n-1$ 阶的矩阵。
%\item  如果行列式的值不为零，则它在行初等变换之后的值也不为零。
%\item  因为 $\det(A_n)\neq 0$, 所以 $\det(A_{n-1})\neq 0$. 
%\item  由归纳法，可知存在一系列的行初等变换，将 $A_{n-1}$ 化为单位矩阵，
%\begin{eqnarray*}
%A_{n-1} \longrightarrow E_{n-1}. 
%\end{eqnarray*}
%\item  将第 $2,\cdots,n$ 行乘以适当的数，加到第一行，可将第 $(1,2),\cdots,(1,n)$ 位置都化为零。
%\item  总结整个行初等变换的步骤为，
%\begin{eqnarray*}
%A_n
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&* \\ 0&A_{n-1} \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&* \\ 0&E_{n-1} \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&E_{n-1} \end{bmatrix}=E_n.
%\end{eqnarray*}
%
%\end{enumerate}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %5
使用行初等变换，计算下述矩阵的秩，
$%\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} 2&1&11&2 \\ 1&0&4&-1 \\ 11&4&56&5 \\ 2&-1&5&-6 \end{bmatrix}.
$%\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：用行初等变换化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} 2&1&11&2 \\ 1&0&4&-1 \\ 11&4&56&5 \\ 2&-1&5&-6 \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&0&4&-1 \\ 0&1&3&4 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%因此这个矩阵的秩为2. 
%
%\begin{lstlisting}[language=R]
%A=matrix(c(2,1,11,2,1,0,4,-1,11,4,56,5,2,-1,5,-6),nrow=4,byrow=T)
%print(A)
%print(rref(A))
%\end{lstlisting}
%
%注：如果只需要计算矩阵的秩，化为行阶梯形即可。阶梯的个数就是矩阵的秩。
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %6
使用行初等变换，计算下述矩阵的秩，
$%\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} 1&1&2&5&7 \\ 1&2&3&7&10 \\ 1&3&4&9&13 \\ 1&4&5&11&16 \end{bmatrix}.
$%\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：用行初等变换化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} 1&1&2&5&7 \\ 1&2&3&7&10 \\ 1&3&4&9&13 \\ 1&4&5&11&16 \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&0&1&3&4 \\ 0&1&1&2&3 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%因此这个矩阵的秩为2. 
%\begin{lstlisting}[language=R]
%B=matrix(c(1,1,2,5,7,1,2,3,7,10,1,3,4,9,13,1,4,5,11,16),nrow=4,byrow=T)
%print(B)
%print(rref(B))
%\end{lstlisting}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %7
考虑下述线性方程组。讨论 $\lambda$ 的不同取值，使得该线性方程组有唯一解、有无穷多解、无解？
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{rcl}
\lambda x_1 +x_2 +2x_3 -3x_4 &=& 2, \\
\lambda^2 x_1 -3x_2 +2x_3 +x_4 &=& -1, \\
\lambda^3 x_1 -x_2 +2x_3 -x_4 &=& -1. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：先交换未知数 $x_1$ 与 $x_4$, 然后将增广矩阵化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} -3&1&2&\lambda &2 \\ 1&-3&2&\lambda^2 &-1 \\ -1&-1&2&\lambda^3 &-1 \\  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&-3&2&\lambda^2&-1 \\ 0&1&-1&-\frac{1}{4}\lambda^3-\frac{1}{4}\lambda^2&\frac{1}{2} \\ 
%0&0&0&\lambda+\lambda^2-2\lambda^3&3 \end{bmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%当 $\lambda+\lambda^2-2\lambda^3=0$ 时，线性方程组无解，此时 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-\frac{1}{2}$. 
%
%当 $\lambda+\lambda^2-2\lambda^3\neq 0$ 时，线性方程组有无穷多解，此时 $\lambda\neq 0$ 且 $\lambda\neq 1$ 且 $\lambda\neq -\frac{1}{2}$.
%\begin{lstlisting}[language=R]
%#lam=0
%#lam=1
%lam=-1/2
%a1=c(lam,1,2,-3,2)
%a2=c(lam^2,-3,2,1,-1)
%a3=c(lam^3,-1,2,-1,-1)
%Abar=matrix(c(a1,a2,a3),nrow=3,byrow=T)
%print(Abar)
%print(rref(Abar))
%\end{lstlisting}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %8
考虑下述线性方程组。讨论 $\lambda$ 的不同取值，使得该线性方程组有唯一解、有无穷多解、无解？
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\lambda x_1 +x_2 +x_3  &=& 1, \\
x_1 +\lambda x_2 +x_3 &=& \lambda, \\
x_1 +x_2 +\lambda x_3 &=& \lambda^2. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：这个题目的系数矩阵是方阵，所以线性方程组有唯一解当且仅当其行列式的值不为零。
%\begin{eqnarray*}
%\begin{vmatrix} \lambda &1&1 \\ 1&\lambda &1 \\ 1&1&\lambda  \end{vmatrix}
%= \lambda^3-3\lambda+2 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) = (\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda+2).
%\end{eqnarray*}
%所以当 $\lambda\neq 1$ 且 $\lambda\neq -2$ 时，线性方程组有唯一解。
%
%当 $\lambda=1$ 时，将增广矩阵用行初等变换化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0  \end{bmatrix}
%\end{eqnarray*}
%因此 $R(A)=1$, $R(\bar{A})=1$, 因为未知数个数 $n=3$, 所以有无穷多解。
%
%当 $\lambda=-2$ 时，将增广矩阵用行初等变换化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} -2&1&1&1 \\ 1&-2&1&-2 \\ 1&1&-2&4  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&0&-1&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1  \end{bmatrix}
%\end{eqnarray*}
%因此 $R(A)=2$, $R(\bar{A})=3$, 所以线性方程组无解。
%
%\begin{lstlisting}[language=R]
%#lam=1
%lam=-2
%a1=c(lam,1,1,1)
%a2=c(1,lam,1,lam)
%a3=c(1,1,lam,lam^2)
%Abar=matrix(c(a1,a2,a3),nrow=3,byrow=T)
%print(Abar)
%print(rref(Abar))
%\end{lstlisting}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %9
考虑下述线性方程组，
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1 -2x_2 +x_3 +x_4  &=& 1, \\
x_1 -2x_2 +x_3 -x_4  &=& -1, \\
x_1 -2x_2 +x_3 +5x_4  &=& 5. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item[(1)]  计算这个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩，设为 $r$.
\item[(2)]  在系数矩阵中找出一个 $r$ 阶子式，使得它的行列式的值不等于零。
\item[(3)]  在上一小题的基础上，将该线性方程组化为可以使用克拉默公式的情形，并求解。
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%\begin{enumerate}
%\item[(1)]  将增广矩阵用行初等变换化为行最简形，可得
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} 1&-2&1&1&1 \\ 1&-2&1&-1&-1 \\ 1&-2&1&5&5  \end{bmatrix}
%\longrightarrow
%\begin{bmatrix} 1&-2&1&0&0 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0  \end{bmatrix}.
%\end{eqnarray*}
%可见系数矩阵和增广矩阵的秩都是2.
%
%\item[(2)]  取出阶梯所在位置的行与列，即第1、2行与第1、4列，这个子式为
%\begin{eqnarray*}
%\begin{vmatrix} 1&1 \\ 1&-1  \end{vmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(3)]  取出第1、2个方程，把第1、4个未知数保留在左边，将其余未知数移项到等号右边，可得
%\begin{eqnarray*}
%\left\{\begin{array}{rcl}
%x_1 +x_4  &=& 1 + 2x_2 -x_3, \\
%x_1 -x_4  &=& -1 +2x_2 -x_3. 
%\end{array}\right.
%\end{eqnarray*}
%使用克拉默公式，可得
%\begin{eqnarray*}
%x_1 &=& \frac{\begin{vmatrix} 1 + 2x_2 -x_3&1 \\ -1 +2x_2 -x_3&-1  \end{vmatrix}}
%{\begin{vmatrix} 1&1 \\ 1&-1  \end{vmatrix}}
%=\frac{-4x_2+2x_3}{-2} = 2x_2 - x_3, \\ 
%x_4 &=& \frac{\begin{vmatrix} 1&1 + 2x_2 -x_3 \\ 1&-1 +2x_2 -x_3  \end{vmatrix}}
%{\begin{vmatrix} 1&1 \\ 1&-1  \end{vmatrix}}
%=\frac{-2}{-2} = 1.  
%\end{eqnarray*}
%其中 $x_2,x_3$ 可取任意实数。
%
%\end{enumerate}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %10
设下述齐次线性方程组的系数行列式的值等于零，并设 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}$ 不等于零。
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2 +a_{13}x_3 &=& 0, \\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2 +a_{23}x_3 &=& 0, \\
a_{31}x_1 +a_{32}x_2 +a_{33}x_3 &=& 0. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

证明：这个线性方程组的通解为
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} kA_{11} \\ kA_{12} \\ kA_{13} \end{bmatrix},
\end{eqnarray*}
其中 $k$ 为任意数。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：因为代数余子式 $A_{11}$ 不等于零，所以矩阵 $A$ 有2阶子式的值不为零。
%又根据题目条件，矩阵 $A$ 的行列式的值为零，所以根据矩阵的秩的定义，$A$ 的秩 $R(A)=2$. 
%因为未知数的个数 $n=3$, 所以这个齐次线性方程组有 $n-R(A)=3-2=1$ 个线性无关的向量作为基础解系。
%
%将 $(x_1,x_2,x_3) = (A_{11}, A_{12}, A_{13})$ 代入第一个方程，可得
%\begin{eqnarray*}
%a_{11}x_1 +a_{12}x_2 +a_{13}x_3 = 
%a_{11}A_{11} +a_{12}A_{12} +a_{13}A_{13} = \det(A)=0.  
%\end{eqnarray*}
%
%将 $(x_1,x_2,x_3) = (A_{11}, A_{12}, A_{13})$ 代入第二个方程，可得一个三阶行列式，其第1、2行相等，
%\begin{eqnarray*}
%a_{21}x_1 +a_{22}x_2 +a_{23}x_3 = 
%a_{21}A_{11} +a_{22}A_{12} +a_{23}A_{13} = 
%\begin{vmatrix}  a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} =0. 
%\end{eqnarray*}
%
%将 $(x_1,x_2,x_3) = (A_{11}, A_{12}, A_{13})$ 代入第三个方程，可得一个三阶行列式，其第1、3行相等，
%\begin{eqnarray*}
%a_{31}x_1 +a_{32}x_2 +a_{33}x_3 = 
%a_{31}A_{11} +a_{32}A_{12} +a_{33}A_{13} = 
%\begin{vmatrix}  a_{31}&a_{32}&a_{33} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} =0. 
%\end{eqnarray*}
%
%所以 $(x_1,x_2,x_3) = (A_{11}, A_{12}, A_{13})$ 是这个线性方程组的解。
%又因为 $A_{11}\neq 0$, 所以这个解向量不是零向量。所以它就是这个线性方程组的一个基础解系。
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %11
矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 定义如下，即由 $A$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 排列而成，
\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}
=  \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{bmatrix},
\hspace{1cm}
A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31} \\ A_{12}&A_{22}&A_{32} \\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item[(1)]  对上述具体的矩阵 $A$, 计算它的伴随矩阵 $A^*$.
\item[(2)]  分别计算 $A$ 与 $A^*$ 的秩。你有什么发现？
\item[(3)]  证明对于一般的 $n$ 阶矩阵 $A$, 如果 $\det(A)=0$, 那么 $R(A^*)\le 1$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：
%\begin{enumerate}
%\item[(1)]  根据伴随矩阵的定义，可得
%\begin{eqnarray*}
%A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31} \\ A_{12}&A_{22}&A_{32} \\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end{bmatrix}
%=\begin{bmatrix}  -3&6&-3 \\ 6&-12&6 \\ -3&6&-3  \end{bmatrix}.  
%\end{eqnarray*}
%
%\item[(2)]  矩阵 $A$ 的秩为 $R(A)=2$, 矩阵 $A^*$ 的秩为 $R(A^*)=1$. 
%
%\item[(3)]  一种证明：
%\begin{enumerate}
%\item  根据秩（即行列式秩）的定义，矩阵的秩是取值不为零的子式的最大的阶数。
%\item  现在 $\det(A)=0$, 即矩阵 $A$ 的 $n$ 阶子式的值为零，所以 $R(A)\le n-1$. 
%\item  如果 $R(A)\le n-2$, 那么矩阵 $A$ 的 $n-1$ 阶子式的值也都为零，此时矩阵 $A$ 的每个代数余子式的值都为零，所以伴随矩阵 $A^*$ 为零矩阵，所以 $R(A^*)=0$. 
%\item  如果 $R(A)=n-1$, 那么某个 $n-1$ 阶的子式取值不为零。此时伴随矩阵 $A^*$ 不是零矩阵。
%\item  因为 $AA^*=\det(A)E=O$ 为零矩阵，所以 $A^*$ 的每个列向量都是 $AX=0$ 的解向量。
%\item  当 $R(A)=n-1$ 时，$AX=0$ 的基础解系有 $n-R(A)=n-(n-1)=1$ 个向量。
%\item  所以矩阵 $A^*$ 的列向量组的秩为1. 
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %12
对于参数 $\lambda$ 的不同的值，求下述矩阵的秩，
$%\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} 7-\lambda & -12 & 6 \\  10 & -19-\lambda & 10 \\  12 & -24 & 13-\lambda \end{bmatrix}.
$%\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：这种每个元素都是参数 $\lambda$ 的多项式的矩阵称为 $\lambda$矩阵。一种方法是对矩阵 $A$ 进行 ``$\lambda$矩阵的初等变换''，即下述三种变换：
%\begin{enumerate}
%\item[(1)] 交换两行。
%\item[(2)] 某一行乘以一个非零常数。
%\item[(3)] 将某一行乘以一个 $\lambda$ 的多项式然后加到另一行。
%\end{enumerate}
%结果可以得到对角阵，而且对角线的元素依次整除。
%本题的 ``$\lambda$矩阵的初等变换''如下：
%\begin{eqnarray*}
%\begin{bmatrix} 7-\lambda & -12 & 6 \\  10 & -19-\lambda & 10 \\  12 & -24 & 13-\lambda \end{bmatrix}
%& \xrightarrow[第三列乘以-1加到第一列]{第三列乘以2加到第二列} & 
%\begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 6 \\  0 & 1-\lambda & 10 \\  \lambda-1 & 2-2\lambda & 13-\lambda \end{bmatrix} \\
%& \xrightarrow[第一行乘以1加到第三行]{第二行乘以-2加到第三行} & 
%\begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 6 \\  0 & 1-\lambda & 10 \\  0 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}
%\end{eqnarray*}
%
%从这里可以看出，
%\begin{itemize}
%\item 当 $\lambda=1$ 时，$R(A)=1$, 
%\item 当 $\lambda=-1$时，$R(A)=2$, 
%\item 当 $\lambda\neq 1$ 且 $\lambda\neq -1$ 时，$R(A)=3$. 
%\end{itemize}
%这个题目到这里就做好了。如果继续进行 ``$\lambda$矩阵的初等变换''，则可得：
%\begin{eqnarray*}
% \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 6 \\  0 & 1-\lambda & 10 \\  0 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}
%& \xrightarrow[]{交换第一列与第三列} & 
%\begin{bmatrix} 6 & 0 & 1-\lambda \\  10 & 1-\lambda & 0 \\  -1-\lambda & 0 & 0 \end{bmatrix}\\
%& \xrightarrow[]{第一行乘以1/6} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 0 & (1-\lambda)/6 \\  10 & 1-\lambda & 0 \\  -1-\lambda & 0 & 0 \end{bmatrix}\\
%& \xrightarrow[]{第一列乘以(\lambda-1)/6加到第三列} &
%\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  10 & 1-\lambda & 10(\lambda-1)/6 \\  -1-\lambda & 0 & (-1-\lambda)(\lambda-1)/6 \end{bmatrix}\\
%& \xrightarrow[第一行乘以-10加到第二行]{第一行乘以1+\lambda 加到第三行} &
%\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1-\lambda & 10(\lambda-1)/6 \\  0 & 0 & (-1-\lambda)(\lambda-1)/6 \end{bmatrix}\\
%& \xrightarrow[]{第二列乘以10/6加到第三列} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & 1-\lambda & 0 \\  0 & 0 & (-1-\lambda)(\lambda-1)/6 \end{bmatrix}\\
%& \xrightarrow[第三行乘以-6]{第二行乘以-1} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & \lambda-1 & 0 \\  0 & 0 & (\lambda+1)(\lambda-1) \end{bmatrix}.
%\end{eqnarray*}
%
%这个矩阵称为``$\lambda$矩阵的相抵标准形''。它是一个对角阵，而且对角线的元素依次整除。
%%并且看出当$\lambda=1$ 时，$R(A)=1$; 当$\lambda=-1$ 时，$R(A)=2$. 
%%从这里就很容易讨论矩阵的秩的各种情况。
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %13
对于参数 $\lambda$ 的不同的值，求下述矩阵的秩，
$%\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2  \\  2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1  \end{bmatrix}.
$%\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：将矩阵 $A$ 通过行与列的初等变换化为阶梯形，
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{bmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2  \\  2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1  \end{bmatrix}
%& \xrightarrow[]{交换第一行与第三行} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 10 & -6 & 1 \\  2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & \lambda & -1 & 2   \end{bmatrix} \\ 
%& \xrightarrow[第一行乘以-1加到第三行]{第一行乘以-2加到第二行} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 10 & -6 & 1 \\  0 & -21 & \lambda+12 & 3 \\  0 & \lambda-10 & 5 & 1   \end{bmatrix} \\ 
%& \xrightarrow[]{交换第二列与第四列} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 & 10 \\  0 & 3 & \lambda+12 & -21 \\  0 & 1 & 5 & \lambda-10   \end{bmatrix} \\ 
%& \xrightarrow[]{交换第二行与第三行} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 & 10 \\  0 & 1 & 5 & \lambda-10   \\  0 & 3 & \lambda+12 & -21 \end{bmatrix} \\ 
%& \xrightarrow[]{第二行乘以-3加到第三行} & 
%\begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 & 10 \\  0 & 1 & 5 & \lambda-10   \\  0 & 0 & \lambda-3 & -3\lambda+9 \end{bmatrix}
%\end{eqnarray*}
%因为初等变换不改变矩阵的秩，所以当 $\lambda=3$ 时，$R(A)=2$; 当 $\lambda\neq 3$ 时，$R(A)=3$. 
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %14
对于参数 $\lambda$ 的不同的值，求下述矩阵的秩，
$%\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0  \\ 0 & \lambda & 1 & 0  \\ 0 & 0 & \lambda & 1  \\  0 & 0 & 0 & \lambda  \end{bmatrix}.
$%\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\color{red} 解答：这是若而当块矩阵。根据矩阵的秩的定义，当 $\lambda\neq 0$ 时，由 $\det(A)=\lambda^4\neq 0$ 得矩阵 $A$ 的四阶子式的值不为零，所以此时 $R(A)=4$. 当 $\lambda=0$ 时，矩阵 $A$ 成为下述形式，
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 1  \\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}.
%\end{eqnarray*}
%可见 $\det(A)=0$, 但是存在一个三阶子式，其值不为零。所以此时 $R(A)=3$. 
%
%}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
